Mathematikmaterialien von Tino Hempel
| |
Mathematikmaterialien von Tino Hempel |
 |
John Napier – Rechnen mit den Rechenstäbchen |
Napier wurde 1550 in Merchiston Castle bei Edinburgh geboren. Napier trug als schottischer Edelmann den Titel Laird of Merchiston. "Napier erfand unabhängig von Bürgi die Logarithmen, ihre Basis war näherungsweise 1/e. Er berechnete eine 7stellige Tafel. Später einigte er sich mit H. Briggs auf die dekadischen Logarithmen." Die nach ihm benannten "...Napierschen Regeln für das schiefwinklige sphärische Dreieck werden in seiner 'Constructio' 1619 unvollkommen mitgeteilt." [1] Napier starb am 3.4. 1617 in Merchiston Castle. Ihm zu Ehren wurde für die Maßeinheit der Dämpfung bei elektrischen und akustischen Schwingungen Neper genannt.
Hinweis:
In der Literatur wird häufig der Name Napier in der lateinischen Form Neper benutzt. Auf seinem Buch "Logarithmorum" wird er als Ioanne Nepero bezeichnet.
Als Folge der geographischen Entdeckungen im Mittelalter nahm der Handel einen enormen Aufschwung. Die Ausbeutung der Kolonien belebte die Wirtschaft Europas in einem ungeahnten Maße. Dies hatte natürlich auch Auswirkungen auf die Mathematik. Bisher verwendete Rechenmethoden genügten nicht mehr, sie waren zu schwerfällig, zu ungenau und zu langsam geworden. Der sehr praktische Handabakus der Römer war in Vergessenheit geraten. Seefahrer, Kaufleute, Wissenschaftler aller Disziplinen und Landvermesser brauchten nun Rechenverfahren, die Zeit ersparten, sich leicht anwenden ließen und präzise Resultate lieferten.
Mit der Erfindung der Logarithmen durch den Schweizer Jost Bürgi und dem Schotten John Napier konnte man eine Multiplikation auf die Addition, die Division auf eine Subtraktion und das Potenzieren auf eine Multiplikation zurückführen. Doch für die das Logarithmieren mussten zunächst umfangreiche Rechentafeln erstellt werden und dafür war es notwendig, viele Multiplikationen auszuführen. John Napier untersuchte deshalb den Multiplikationsalgorithmus genauer und stellte interessantes fest.
Schon die Pythagoräer nahmen sich für die Multiplikation eine Tafel mit dem (kleinen) Einmaleins zu Hilfe. Diese hatte das folgende Aussehen:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
27 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
36 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
6 |
12 |
18 |
24 |
30 |
36 |
42 |
48 |
54 |
7 |
14 |
21 |
28 |
35 |
42 |
49 |
56 |
63 |
8 |
16 |
24 |
32 |
40 |
48 |
56 |
64 |
72 |
9 |
18 |
27 |
36 |
45 |
54 |
63 |
72 |
81 |
Napier untersuchte zunächst die Multiplikation einer beliebige Zahl mit einer einstelligen Zahl.
Beispiel:
9 * 6789
81
72
63
54___
61101
Er stellte fest, das für das Multiplizieren doch nur das kleine Einmaleins benötigt wird. Für die Bestimmung des Produkts mussten man nur noch die Zwischenergebnisse geschickt addieren. Er brauchte also nur die Einmaleins-Tafel so zu verändern, dass neben den Einmaleins-Produkten auch die zu addierenden Zahlen sofort sichtbar wurden.
Die Lösung: Napier fügte in die bekannte Tafel transversale Linien ein, so dass seine Tafel folgendes Aussehen hatte:
Als Napier das Produkt aus 9 und 6789 bilden wollte, ging er in die letzte, die 9er Zeile, suchte die Spalten 6, 7, 8 und 9 auf und addierte unter Berücksichtigung des Übertrags die durch die transversalen eingeschlossenen Zahlen an den Schnittpunkten der Spalten und Zeile.
Somit reduziert sich die Multiplikation auf eine simple Additionsaufgabe.
Die Multiplikation mit einer einstelligen Zahl
Die Multiplikation erfolgt nach dem eben beschriebenem Prinzip. Um eine Zahl mit einer beliebigen Ziffernfolge mit einer Zahl zwischen 1 und 9 zu multiplizieren, wird die veränderte Rechentafel in Spalten zerschnitten und auf Stäbchen geklebt. So erhält man die von Napier entwickelten Napierstäbchen.
Zur Multiplikation zweier Zahlen wird der mehrstellige Faktor aus den Napierstäbchen gebildet und dann aus der Spalte, die der zweite Faktor angibt, das Ergebnis nach oben beschriebenen Prinzip ermittelt.
Beispiel: 78196 * 4 = 312784
Die Multiplikation mit einer mehrstelligen Zahl (einfache Variante)
Ist hingegen der zweite Faktor nicht nur einstellig, sondern ebenfalls mehrstellig, wie z. B. bei dem Produkt 973018 * 9758, so bestimmt man nacheinander die Produkte von 973018 und 8, 5, 7 bzw. 9 und addiert sie schriftlich, wie bei der gewöhnlichen Multiplikation.
973018 * 8 = 7784144
973018 * 5 = 4865090
973018 * 7 = 6811126
973018 * 9 = 8757162___ 9494709644
Diese Rechnung ist zugegebenermaßen nicht so elegant, wie die vorher beschriebene Art, aber immer noch kürzer als die gewöhnliche Multiplikation.
Die Multiplikation mit einer mehrstelligen Zahl (Gelosia-Methode)
Bei der Gelosia-Methode werden nicht vollständige Rechenstäbchen gelegt, sondern nur Teile davon. Als erläuterndes Beispiel dient die Aufgabe 123 * 483.
"Die Ziffern der beiden Faktoren werden am oberen bzw. rechten Rand des Quadrates notiert, das mittels eines Gitters unterteilt ist. Die Ergebnisse der neun Kombinationen einstelliger Multiplikationen werden in die diagonal geteilten Gitter-Quadrate eingetragen. In der Ecke rechts unten beginnend werden die Ziffern der Diagonalstreifen aufaddiert und der Übergang jeweils zu den Ziffern des nächsten Diagonalstreifens hinzugezählt." [2]
Somit ergibt sich das Ergebnis 59409, welches unter Berücksichtigung der Überträge bei der Addition ermittelt wurde.
"Im Vordergrund das Nepersche Promptuario, angefertigt von der Wissenschaftlichen Werkstatt der Universität Ulm. Links sieht man die aus Holz gefertigten Zahlenstäbe, rechts die Schablonenstäbe aus Plexiglas. Sie sind quer zueinander und schichtweise abwechselnd übereinander gelagert." [2]
![(c) by [2]](tafel6.gif)
Beispiel: 74 * 32 = 2368
Benötigt werden die normalen Napierstäbchen für 7 und 4, sowie um 90° gedrehte Stäbchen (Schablonen) ebenfalls für 7 und 4. Auf den gedrehten Stäbchen sind nur die 2. Zellen bedruckt. Nun werden die normalen Stäbchen entsprechend der Aufgabe gelegt. Für das spätere Ergebnis ist die dritte Zeile (der Zehner des zweiten Faktors) wichtig. Außerdem wird der gedrehte 7er-Stab auf die 4 Zeile geschoben. Sie stellt die Multiplikation mit den Einern des zweiten Faktors dar. Somit ergibt sich:
Im Bild wurden die nicht bedruckten Elemente zur Verdeutlichung
verblaßt dargestellt!
Jetzt wird der zweite gedrehte Stab so aufgelegt, daß seine beschriftete Zelle genau in der vierten Zelle des 4er-Stabes liegt. Nun kann über Addition das Ergebnis abgelesen werden.
 |
 |
Diese Technik hat natürlich den Vorteil, dass auch größere Multiplikationen ausgeführt werden können, jedoch ist eine Vielzahl Schablonen notwendig.
Die Division zweier Zahlen lässt sich nicht direkt mit den Rechenstäbchen ausführen, wohl aber dienen sie der Vereinfachung von Zwischenschritten. Unter Nutzung des Verfahrens der schriftlichen Division werden die Rechenstäbe zur Ermittlung der Ziffern des Quotienten und zur "Rückrechnung" eingesetzt. Das folgende Beispiel soll die Nutzung illustrieren.
Beispiel: 93216375 : 4275 = ?
Darstellung des Divisors mit Hilfe der Napierstäbchen Suchen der Zeile, die sich am Besten von unten an den Dividenden annähert, Zeilennummer entspricht erster Ziffer des Quotienten
Rückrechnung und Differenzbildung (ohne Stäbchen!)
Nächste Ziffer aus dem Dividenden ziehen
8550 7716Fortsetzung des Algorithmus, wie oben beschrieben
8550 7716 4271 35453
8550 7716 4271 34413 34200 21375 21375 0
Die Napierschen Rechstäbchen sind leider in Vergessenheit geraten, obwohl sie einen bedeutenden Einfluss auf die Entwicklung der Rechenmaschinen hatten. Denn erst durch Napiers Rechenstäbchen war es Wilhelm Schickard möglich, die erste mechanische Rechenmaschine zu bauen.
- [1] Lexikon der Schulmathematik, herausgegeben von Athen/Bruhn, Bd. 3, Sonderausgabe des Weltbild-Verlags 1990
- [2] Vom Abakus zur Staffelwalze:
http://www.mathematik.uni-ulm.de/fak/presse/staffel.html [18.03.2002]
- Microsoft's LexiROM: Einträge Napier und Neper
Dr. K. Lehrmann schrieb mir dazu am 25.02.2003:
"... zu John Napier erlaube ich mir anzumerken, was mir zu Napiers "Promptuarium" auffiel: m.a.n. ist der von ihnen beschriebene Nachbau nicht originalgetreu nach Napiers eigenen Angaben in "Rabdologia" durchgeführt, sondern in entscheidenden Teilen abgeändert! Ich weiß das deshalb, weil ich vor kurzem reichlich Mühe aufwenden mußte, z. B. kleine "Sichtdreiecke" aus den dort angegebenen Querstäben auszusägen, die dann die sicht auf das jeweilige Vielfache der Längsziffernstäbe freigeben. Diese enthalten im Original gleiche Felder untereinander, die jeweils alle Vielfache der betreffenden Zahl enthalten..."
 zur Startseite |
CC BY-SA 4.0 Tino Hempel | Im Web vertreten seit 1994. Eine Internet-Seite aus dem Angebot von Tino Hempel. |
